2017-2018年上海黄浦区中考数学一模试题

2017-2018年上海黄浦区中考数学一模试题

1、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1．（4分）下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具备相同对称轴的是（）

A．y=4x2+2x+1 B．y=2x2﹣4x+1 C．y=2x2﹣x+4 D．y=x2﹣4x+2

2．（4分）如图，点D、E坐落于△ABC的两边上，下列条件能断定DE∥BC的是（）

A．AD•DB=AE•EC B．AD•AE=BD•EC C．AD•CE=AE•BD D．AD•BC=AB•DE

3．（4分）已知一个坡的坡比为i，坡角为α，则下列等式成立的是（）

A．i=sinα B．i=cosplayα C．i=tanα D．i=cotα

4．（4分）已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）

A． B． C． D．||﹣||=0

5．（4分）已知二次函数y=x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的表达式为（）

A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3

6．（4分）Word文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不一样的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知AB=AC，当它以底边BC水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那样当△ABC以腰AB水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）

A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2.56和2.88 D．2.88和3.00

2、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）

7．（4分）已知线段a是线段b、c的比率中项，假如a=3，b=2，那样c=__________．

8．（4分）化简：=__________．

9．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则AP﹣BP=__________．

10．（4分）已知二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则f（1）__________f（5）（填“＞”或“＜”）

11．（4分）求值：sin60°•tan30°=__________．

12．（4分）已知G是等腰直角△ABC的重点，若AC=BC=2，则线段CG的长为__________．

13．（4分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为__________．

14．（4分）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数分析式为__________．

15．（4分）如图，正方形ABCD的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为__________．

16．（4分）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，借助对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是__________米．

17．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P坐落于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为__________．

18．（4分）如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的，则cosplayA=__________．

3、解答卷（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）

19．（10分）用配办法把二次函数y=x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在两腰上，

且EF∥AD，AE：EB=2：1；

（1）求线段EF的长；

（2）设=，=，试用、表示向量．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；

（1）求△ABC的面积；

（2）求sin∠CBE的值．

22．（10分）如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面C处和坡面D处各装一根等长的引拉线BC和BD，过点D作地面MN的垂线DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）

23．（12分）如图1，点D坐落于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比率中项．

（1）求证：∠ACB=∠ABD；

（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

24．（12分）平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；

（1）求抛物线的表达式；

（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左侧），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．

25．（14分）如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；

（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；

（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；

（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数分析式，并写出概念域．

2017年上海黄浦区中考数学一模试题

参考答案与考试试题分析

1、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1．（4分）（2017•黄浦区一模）下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具备相同对称轴的是（）

A．y=4x2+2x+1 B．y=2x2﹣4x+1 C．y=2x2﹣x+4 D．y=x2﹣4x+2

【剖析】依据对称轴方程分别确定每个抛物线的对称轴后即可作出判断．

【解答】解：抛物线y=x2﹣2x+4的对称轴为x=1；

A、y=4x2+2x+1的对称轴为x=﹣，不符合题意；

B、y=2x2﹣4x+1的对称轴为x=1，符合题意；

C、y=2x2﹣x+4的对称轴为x=，不符合题意；

D、y=x2﹣4x+2的对称轴为x=2，不符合题意，

故选B．

【点评】此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的重点，困难程度不大．

2．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，点D、E坐落于△ABC的两边上，下列条件能断定DE∥BC的是（）

A．AD•DB=AE•EC B．AD•AE=BD•EC C．AD•CE=AE•BD D．AD•BC=AB•DE

【剖析】依据选项选出能推出对应线段成比率的即可．

【解答】解：∵AD•CE=AE•BD，

∴，

∴DE∥BC，

故选C．

【点评】本题考查了平行线分线段成比率定理，熟练学会平行线分线段成比率定理是解题的重点．

3．（4分）（2017•黄浦区一模）已知一个坡的坡比为i，坡角为α，则下列等式成立的是（）

A．i=sinα B．i=cosplayα C．i=tanα D．i=cotα

【剖析】依据坡比的概念：斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，据此即可判断．

【解答】解：i=tanα．

故选C．

【点评】本题考查了坡比的概念，理解坡比是斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，是重点．

4．（4分）（2017•黄浦区一模）已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）

A． B． C． D．||﹣||=0

【剖析】依据向量和都是单位向量，可知||=||=1，由此即可判断．

【解答】解：∵已知向量和都是单位向量，

∴||=||=1，

∴||﹣||=0，

故选D．

【点评】本题考查平面向量、单位向量，是定义题目，记住定义是解题的重点．

5．（4分）（2017•黄浦区一模）已知二次函数y=x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的表达式为（）

A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3

【剖析】直接依据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=x2的图象向左平移个单位得到y=（x+2）2，

由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=（x+2）2的图象向上平移3个单位可得到函数y=（x+2）2+3，

故选：A．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟悉“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的重点．

6．（4分）（2017•黄浦区一模）Word文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不一样的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知AB=AC，当它以底边BC水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那样当△ABC以腰AB水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）

A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2.56和2.88 D．2.88和3.00

【剖析】依据等腰三角形的性质，勾股定理可求AB，即图⑤绝对宽度，再依据三角形面积公式可求图⑤绝对高度．

【解答】解：图④，过A点作AD⊥BC于D，

BD=3.60÷2=1.80，

在Rt△ABD中，AB==3，

图⑤绝对宽度为3；

图⑤绝对高度为：

2.40×3.60÷2×2÷3

=4.32×2÷3

=2.88．

故选：D．

【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的重点是熟练学会图形的绝对高度和绝对宽度的概念．

2、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）

7．（4分）（2017•黄浦区一模）已知线段a是线段b、c的比率中项，假如a=3，b=2，那样c=____________________．

【剖析】依据比率中项的概念可得b2=ac，从而易求c．

【解答】解：∵线段a是线段b、c的比率中项，

∴a2=bc，

即32=2×c，

∴c=．

故答案是：．

【点评】本题考查了比率线段，解题的重点是理解比率中项的概念．

8．（4分）（2017•黄浦区一模）化简：=______________________________．

【剖析】直接借助平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．

【解答】解：=2﹣4﹣3﹣3=﹣﹣7．

故答案为：．

【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意学会去括号时的符号变化是解此题的重点．

9．（4分）（2017•黄浦区一模）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则AP﹣BP=____________________．

【剖析】依据黄金分割的定义、黄金比值计算即可．

【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，

∴AP=AB=﹣1，

则BP=2﹣AP=3﹣，

∴AP﹣BP=（﹣1）﹣（3﹣）=2﹣4，

故答案为：2﹣4．

【点评】本题考查的是黄金分割的定义和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比率中项，叫做把线段AB黄金分割．

10．（4分）（2017•黄浦区一模）已知二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则f（1）______________________________f（5）（填“＞”或“＜”）

【剖析】依据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．

【解答】解：∵二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，

∴当x的取值越挨近4函数值就越小，反之越大，

∴f（1）＞f（5），

故答案为：＞．

【点评】考查了二次函数的性质，解题的重点是依据对称轴及开口方向确定其增减性，困难程度不大．

11．（4分）（2017•黄浦区一模）求值：sin60°•tan30°=____________________．

【剖析】先依据特殊角的三角函数值计算出各数，再依据二次根式的乘法进行计算即可．

【解答】解：原式=×

=．

故答案为：．

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的重点．

12．（4分）（2017•黄浦区一模）已知G是等腰直角△ABC的重点，若AC=BC=2，则线段CG的长为____________________．

【剖析】依据三角形的重点到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．

【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重点，AC=BC=2，

∴CG=，

故答案为：

【点评】本题考查了三角形的重点，熟记三角形的重点到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的重点．

13．（4分）（2017•黄浦区一模）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为__________．

【剖析】直接依据相似三角形的性质进行解答即可．

【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，

∴它们的面积之比为4：9．

故答案为：4：9

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方．

14．（4分）（2017•黄浦区一模）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数分析式为________________________________________．

【剖析】直接借助等边三角形的性质得出AD的长，再借助三角形面积求法得出答案．

【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，

∵等边三角形的周长为C，

∴AB=BC=AC=，

∴DC=BD=，

∴AD==C，

∴S=×C×=C2．

故答案为：S=×C×=C2．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题重点．

15．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，正方形ABCD的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为__________．

【剖析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，借助相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．

【解答】解：作AH⊥BC于H，交DG于P，如图所示：

∵△ABC的面积=BC•AH=9，BC=6，

∴AH=3，

设正方形DEFG的边长为x．

由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，

∵AH⊥BC，

∴AP⊥DG．

由DG∥BC得△ADG∽△ABC

∴．

∵PH⊥BC，DE⊥BC

∴PH=ED，AP=AH﹣PH，

即，

由BC=6，AH=3，DE=DG=x，

得，

解得x=2．

故正方形DEFG的面积=22=4；

故答案为：4．

【点评】本题考查了相似三角形的断定与性质、正方形的性质．重点是由平行线得到相似三角形，借助相似三角形的性质列方程．

16．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，借助对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是__________米．

【剖析】作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，借助三角函数求得AE的长，依据AB=2AE即可求解．

【解答】解：作PE⊥AB于点E，

在直角△AEP中，∠APE=∠α，

则AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5（米），

则AB=2AE=27（米）．

故答案是：27．

【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的概念，解题的重点是记住特殊三角形的边之间关系，掌握把问题转化为方程解决，是中考常考试试题型．

17．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P坐落于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为____________________．

【剖析】先依据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种状况进行讨论即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB==10．

∵D是边AB的中点，

∴AD=5．

当△ADP∽△ABC时，=，即=，解得AP=4；

当△ADP∽△ACB时，=，即=，解得AP=．

故答案为：4或．

【点评】本题考查的是相似三角形的断定，在解答此题时应该注意进行分类讨论，不要漏解．

18．（4分）（2017•黄浦区一模）如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的，则cosplayA=____________________．

【剖析】如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，

易知四边形BMDN是菱形，设S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a，由于四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的，所以S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出OB2=OA•ON=5k2，推出OB=k，AB=AD==k，由AD•BH=•BD•AO，推出BH==，再借助勾股定理求出AH即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．

∵AB⊥BN，AD⊥DN，

∴∠ABN=∠ADN=90°，

在Rt△ANB和Rt△AND中，

，

∴△ABN≌△ADN，

∴∠BAN=∠DAN，

∴AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，

易知四边形BMDN是菱形，设S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a，

∵四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的，

∴S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a，

∴AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，

∵△ABO∽△BNO，

∴OB2=OA•ON=5k2，

∴OB=k，AB=AD==k，

∵AD•BH=•BD•AO，

∴BH==，

∴AH===k，

∴cosplayA===．

故答案为

【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的断定和性质、勾股定理、相似三角形的断定和性质等常识，解题的重点是灵活运用所学常识，掌握借助参数解决问题，掌握借助面积法求线段，所以中考常考试试题型．

3、解答卷（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）

19．（10分）（2017•黄浦区一模）用配办法把二次函数y=x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【剖析】借助配办法把一般式化为顶点式，依据二次函数的性质解答即可．

【解答】解：y=x2﹣4x+5=（x﹣4）2﹣3，

∴抛物线开口向上，对称轴x=4，顶点（4，﹣3）．

【点评】本题考查的是二次根式的三种形式，正确借助配办法把一般式化为顶点式是解题的重点．

20．（10分）（2017•黄浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在两腰上，

且EF∥AD，AE：EB=2：1；

（1）求线段EF的长；

（2）设=，=，试用、表示向量．

【剖析】（1）作BM∥CD交AD、EF于M、N两点，将问题转化到△ABM中，借助相似三角形的断定与性质求EN，由EF=EN+NF=EN+AD进行求解；

（2）由=、=得BC=AD，EB=AB，依据=可得答案．

【解答】解：（1）作BM∥CD交AD、EF于M、N两点，

又AD∥BC，EF∥AD，

∴四边形BCFN与MNFD均为平行四边形．

∴BC=NF=MD=2，

∴AM=AD﹣MD=1．

又=2，

∴=，

∵EF∥AD，

∴△BEN∽△BAM，

∴，即，

∴EN=，

则EF=EN+NF=；

（2）∵=，=，

∴BC=AD，EB=AB，

∴==，==，

则==+．

【点评】本题主要考查了平行四边形的断定与性质、相似三角形的断定与性质及向量的运算，熟练学会相似三角形的断定与性质得出对应边的长度之比和向量的基本运算是解题的重点．

21．（10分）（2017•黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；

（1）求△ABC的面积；

（2）求sin∠CBE的值．

【剖析】（1）依据∠A的正切用BC表示出AC，再借助勾股定理列方程求出BC，再求出AC，然后依据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；

（2）设CE=x，表示出AE，再依据翻折变换的性质可得BE=AE，然后列方程求出x，再借助锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，tanA=，

∴=，

∴AC=2BC，

在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，

即BC2+4BC2=25，

解得BC=，

所以，AC=2，

△ABC的面积=AC•BC=××2=5；

（2）设CE=x，则AE=AC﹣CE=2﹣x，

∵△ABC沿直线l翻折点A与点B重合，

∴BE=AE=2﹣x，

在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，

即2+x2=（2﹣x）2，

解得x=，

所以，CE=，

BE=2﹣x=2﹣=，

所以，sin∠CBE===．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，锐角三角函数的概念，此类题目，借助勾股定理列出方程求出有关的线段的长度是解题的重点．

22．（10分）（2017•黄浦区一模）如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面C处和坡面D处各装一根等长的引拉线BC和BD，过点D作地面MN的垂线DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）

【剖析】作BE⊥AD于点E，设AB=x米，在直角△ABE中，依据三角函数，借助x表示出AE和BE的长，则在直角△BED中，借助勾股定理表示出BD的长，在直角△ABC中借助勾股定理表示出BC，依据BC=BD即可列方程求解．

【解答】解：作BE⊥AD于点E，设AB=x米，

在直角△ABE中，∠BAE=90°﹣∠DAH=90°﹣30°=60°，

则AE=AB•cosplay∠BAE=xcosplay60°=x（米），

BE=AB•sin∠BAE=xsin60°=x（米）．

则DE=AD﹣AE=12﹣x，

在直角△BED中，BD2=BE2+DE2=（x）2+（12﹣x）2=144+x2﹣12x，

在直角△ABC中，BC2=AC2+AB2=72+x2=49+x2．

∵BC=BD，

∴144+x2﹣12x=49+x2．

解得x=≈7.9

答：电线杆AB的高度约是7.9米．

【点评】本题考查知道直角三角形的应用，坡度坡角问题，正确作出辅助线，借助AB的长表示抽BD和BC是重点．

23．（12分）（2017•黄浦区一模）如图1，点D坐落于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比率中项．

（1）求证：∠ACB=∠ABD；

（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

【剖析】（1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；

（2）由相似三角形的性质得出对应边成比率求出AD=，BD=，得出BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠DBC=∠ACB，证出∠ABD=∠BDC，再证明点B、E、D、F四点共圆，由圆周角定理得出，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵AB是AD与AC的比率中项．

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴∠ACB=∠ABD；

（2）证明：∵△ABD∽△ACB，

∴，即，

解得：AD=，BD=，

∴CD=AC﹣AD=6﹣=，

∴BD=CD，

∴∠DBC=∠ACB，

∵∠ACB=∠ABD，

∴∠ABD=∠BDC，

∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°﹣∠ABC，

∴∠EDF+∠ABC=180°，

∴点B、E、D、F四点共圆，

∴，

∴DE=DF．

【点评】本题考查了相似三角形的断定与性质、等腰三角形的断定与性质、四点共圆、圆周角定理等常识；熟练学会相似三角形的断定与性质，证明四点共圆是解决问题（2）的重点．

24．（12分）（2017•黄浦区一模）平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；

（1）求抛物线的表达式；

（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左侧），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．

【剖析】（1）借助待定系数法直接求出抛物线的分析式；

（2）设出D，E坐标，依据平移，用k表示出平移后的抛物线分析式，借助坐标轴上点的特征得出m+n=16，mn=63﹣，进而借助相似三角形得出比率式打造方程即可求出k

【解答】解：（1）∵抛物线过点A（1，0）、B（3，0），

∴设抛物线的分析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵C（4，6），

∴6=a（4﹣1）（4﹣3），

∴a=2，

∴抛物线的分析式为y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2﹣8x+6；

（2）如图，设点D（m，0），E（n，0），

∵A（1，0），

∴AD=m﹣1，AE=n﹣1

由（1）知，抛物线的分析式为y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2；

∴将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，得到抛物线的分析式为y=2（x﹣8）2﹣2；

∴再沿y轴方向平移k个单位，得到的抛物线的分析式为y=2（x﹣8）2﹣2﹣k；

令y=0，则2（x﹣8）2﹣2﹣k=0，

∴2x2﹣32x+126﹣k=0，

依据根与系数的关系得，

∴m+n=16，mn=63﹣，

∵A（1，0），C（4，6），

∴AC2=（4﹣1）2+62=45，

∵△ACD∽△AEC，

∴，

∴AC2=AD•AE，

∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，

∴45=63﹣﹣16+1，

∴k=6，

即：k=6，向下平移6个单位．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，相似三角形的性质，根与系数的关系，解本题的重点是设出了点D，E的坐标，借用韦达定理直接求出k．

25．（14分）（2017•黄浦区一模）如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；

（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；

（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；

（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数分析式，并写出概念域．

【剖析】（1）先依据∠ACB=90°，AC=3，BC=4，求得AB=5，sinA=，tanB=，再依据△ACD为直角三角形，求得AD，在Rt△CDE中，求得DE，最后依据BE=AB﹣AD﹣DE进行计算即可；

（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，进而得出∠CED=∠CDE，再依据∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，得到∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，最后求得AD的长；

（3）先作CH⊥AB于H，Rt△ACH中，求得CH和AH的长，在Rt△CDH中，依据勾股定理得出：CD2=x2﹣x+9，再断定△BDC∽△CDE，得出CD2=DE•DB，即x2﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得y关于x的函数分析式，并写出概念域．

【解答】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，sinA=，tanB=，

如图，当CD⊥AB时，△ACD为直角三角形，

∴CD=AC•sinA=，

∴AD==，

又∵∠DCE=∠ABC，

∴在Rt△CDE中，DE=CD•tan∠DCE=×=，

∴BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣=；

（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，

∴唯有∠CED=∠CDE，

又∵∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，

∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，

∴BD=BC=4，

∴AD=5﹣4=1；

（3）如图所示，作CH⊥AB于H，

∵×BC×AC=AB×CH，

∴CH=，

∴Rt△ACH中，AH==，

∴在Rt△CDH中，CD2=CH2+DH2=（）2+（﹣x）2=x2﹣x+9，

又∵∠CDE=∠BDC，∠DCE=∠B，

∴△BDC∽△CDE，

∴CD2=DE•DB，

即x2﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），

解得．

【点评】本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的断定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理与解直角三角形的综合应用，解决问题的重点是中辅助线架构直角三角形，依据勾股定理与面积法进行求解．